下面将更加偏重于从数学和理论的角度分析，把重复除法转换成乘法运算。

下面来区分精确数学意义上的除法和整型除法运算：

◇n／d，即整数n被分成整数d份，结果趋向于O(与C语言相同)；

◇n％d，即n被d除之后的余数，就是n--d(n／d)；

◇n/d=n·d-1，即真正数学意义上的n被d除。

当使用整型除法时，最容易估算d-1值的方法是计算232／d。然后，就可以估算n／d为：

(n(232／d))／232 (1)

在执行n的乘法时，需要精确到64位。对于这种方法，会出现如下问题：

◇为了计算232／d，由于一个unsigned int类型的数据放不下232，编译器要使用64位long long类型的数，而且必须指定除法为(1 ull<<32)／d。这种64位的除法比32位的除法执行起来要慢得多。

◇如果d碰巧是1，那么232／d就不再适合于un—signed int数据类型。

上面的做法似乎很好，而且解决了这两个问题。那么，再来看一下用(232一1)／d代替232／d。

令

s=0xffffffff ul／d (2