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什么是欧拉公式?欧拉定理公式解析

来源: 作者:weishao 浏览:3499

标签:欧拉公式

摘要:什么是欧拉公式?欧拉公式是欧哈德·欧拉在十八世纪创造的,是数学界最着名、最美丽的公式之一。之所以如此,是因为它涉及到各种显然非常不同的元素,比如无理数e、虚数和三角函数。复变函数中,e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式,e是自然对数的底,i是虚数单位。

什么是欧拉公式?欧拉公式是欧哈德·欧拉在十八世纪创造的,是数学界最着名、最美丽的公式之一。之所以如此,是因为它涉及到各种显然非常不同的元素,比如无理数e、虚数和三角函数。复变函数中,e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式,e是自然对数的底,i是虚数单位。


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欧拉定理


1. 定义

对任意两个正整数 a, n,如果两者互质,那么 aφ(n)≡1(mod n)。


2. 证明

先设集合P为小于n且与n互质的正整数集合{q1 , q2 , q3 , … , qφ(n)},这个集合有两个性质:

qi与n互质

qi模n后各不相同

再设集合Q为{a*q1%n , a*q2%n , a*q3%n , … , a*qφ(n)%n}


可证:

因为a与n互质,所以a*q%n也与n互质,即Q中各元素均与n互质

通过反证法,若a*qi%n=a*qj%n,那么

a*qi-a*qj=0 --> a*(qi-qj)=0 --> qi-qj=0 --> qi=qj

因为先前集合P中qi各不相同,所以不成立,可得集合Q中元素各不相同


由上可得P,Q均为包含φ(n)个小于n且n互质且各不相同的元素集合,而这样的集合只有一个,可得P=Q;


所以集合P元素的乘积和集合Q元素的乘积相等:

q1 * q2 * q3 * … * qφ(n)=(a*q1%n) * (a*q2%n) * (a*q3%n) * … * (a*qφ(n)%n)

q1 * q2 * q3 * … * qφ(n)=aφ(n) * (q1 * q2 * q3 * … * qφ(n))%n

同时除q1-qφ(n)即可得

aφ(n)≡1(mod n)


3.3费马小定理

若存在整数a,p,a为整数,p为质数,那么a(p-1)≡ 1(mod p)。

费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况(当n为质数时φ(n)为n-1)


欧拉公式有4条,分别是:


(1)分式:


a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)


当r=0,1时式子的值为0


当r=2时值为1


当r=3时值为a+b+c


(2)复数


由e^iθ=cosθ+isinθ,得到:


sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i


cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2


此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来,被誉为数学中的“天桥”。


当θ=π时,成为e^iπ+1=0 它把数学中最重要的e、i、π、1、0联系起来了。


(3)三角形


设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则:


d^2=R^2-2Rr


(4)多面体


设v为顶点数,e为棱数,f是面数,则


v-e+f=2-2p


p为亏格,2-2p为欧拉示性数,例如


p=0 的多面体叫第零类多面体


p=1 的多面体叫第一类多面体

型号 厂商 价格
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STM32F103RCT6 ST ¥461.23
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